Додекаэдр. Додекаэдр (греч. δωδεκάεδρον, от δώδεκα – двенадцать и ἕδρα – грань), один из пяти типов правильных многогранников. Мол, благодаря форме и круглым отверстиям додекаэдр определял угол падения солнечных лучей, и в результате римляне выясняли конкретный день, когда нужно приступать к посевам сельскохозяйственных культур. это многогранник, состоящий из 12 граней, каждая из которых является правильным пятиугольником. Такое свойство делает додекаэдр интересным объектом для изучения и анализа. Построение структуры начинается с центрального додекаэдра, путем добавления к нему внешних додекаэдров к каждой из двенадцати граней.
Правильные многогранники
Натянуто, честно признаться. Следуя подобной логике, придется допустить, что и керамические черепки образовались не случайно — мол, посуду били сознательно в ходе домашних скандалов. Ранние гипотезы: додекаэдры служили игральными костями, но не привычными с 6 гранями, а с 12. Были какими-то измерительными инструментами. Или частями оружия. Или деталями одежды. Илии нструментами для гадания - каждая грань артефакта могла соответствовать одному из 12 знаков зодиака. Или одному из 12 месяцев.
Некоторые вполне серьезные археологи подозревали, что «Римские додекаэдры» служили узлами крепления римских шатров — в отверстия вставляли палки, на которые навешивали ткани. А могли использовать, как подсвечники. В одном из 12-грнников нашли следы воска.
О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца» [4].
Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в параллельных плоскостях [7] [6] :318-319 [8]. На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами , относящихся ко II—III вв. Вскоре после появления кубика Рубика , в 1981 году была запатентована подобная головоломка в форме правильного додекаэдра — мегаминкс.
Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида [1].
В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы исключая Землю и правильными многогранниками. В «Тайне мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер.
Нотация Шлефли простирается и за пределы третьего измерения. Запомните эти символы. Они встретятся нам в конце повествования. Переходим к следующему инструменту. Великая формула Эйлера Одно из самых известных открытий великого математика - это формула, которая связывает количество вершин, ребер и граней всякого многогранника, топологически эквивалентного сфере: Обратите внимание, что речь идёт не только о правильных многогранниках, а вообще о всех телах, которые можно получить непрерывными преобразованиями из сферы то есть гомеоморфными ей. Эйлерова характеристика, т. Тор можно получить "приклеив" к сфере одну ручку, значит его Эйлерова характеристика равна 0, если приклеить две ручки - получим двойной тор с характеристикой "-2": Подводя краткие итоги: мы будем классифицировать правильные двумерные многогранники двумерные - в смысле, что их поверхность двумерна, но вложены они всё-таки в трехмерное пространство.
Их эйлерова характеристика равна 2. Для примера рассмотрим тетраэдр и попытаемся выяснить зависимость. У тетраэдра 4 грани, в каждой из которых три угла.
Загадки додекаэдра [60]
Unidentified Gallo-Roman Object - «неопознанный галло-римский предмет». Астрономический определитель Согласно одной из самых признаваемых теорий, римские додекаэдры применялись в качестве измерительных приспособлений, а именно - в качестве дальномеров на поле боя. Дескать, додекаэдр использовали для расчета траекторий метательных снарядов, и это объясняет наличие разного диаметра отверстий на пятиугольных гранях. По другой теории, додекаэдры использовались в качестве геодезических и нивелирующих приспособлений. Тем не менее ни одна из этих теорий не подкреплена какими-либо доказательствами.
Не предоставлено и объяснений того, каким образом додекаэдры могли использоваться для этих целей. Более интересной представляется гипотеза о том, что додекаэдры служили в качестве астрономических измерительных приборов, с помощью которых определяли оптимальный срок посева озимых зерновых культур. Как считает исследователь Вагеман, «додекаэдр был астрономическим измерительным прибором, при помощи которого измеряли угол падения солнечного света, и таким образом точно определяли один особый день весной и один особый день осенью. Определяемые таким образом дни, по-видимому, имели большую важность для сельского хозяйства».
Однако противники этой теории отмечают, что использование додекаэдров в качестве измерительных приборов любого рода представляется невозможным из-за отсутствия у них какой-либо стандартизации. Ведь все найденные предметы имели разные размеры и конструкции. Впрочем, среди множества подобных теорий есть одна весьма правдоподобная. Согласно ей, эти предметы относятся не столько к римским завоевателям, сколько к культуре местных племен и народов, издревле населявших территории Северной Европы и Британии.
Вполне возможно, что имеется какая-то прямая связь между додекаэдрами римского периода и множеством куда более древних каменных шаров с вырезанными на их поверхности правильными многогранниками.
Следовательно, K может быть только вершиной, а симметричной вершине A относительно O является вершина K. Додекаэдр допускает пять троек ортогональных плоскостей, проходящих через центр, каждая из которых является плоскостью симметрии додекаэдра. Симметрия относительно плоскости, перпендикулярной OM, проходящей через O, является произведением поворота на пол-оборота оси OM на симметрию центра O. Симметрия относительно плоскости, проходящей через O и перпендикулярной AB, является произведением S на симметрию с центром O. Симметрия относительно плоскости, проходящей через AOB, является произведением T на симметрию центра O Три ортогональные плоскости, проходящие через O, соответственно перпендикулярные OM, AB и двум предыдущим, являются, таким образом, тремя из пятнадцати плоскостей симметрии додекаэдра. Строительство 1.
Построение первых трех граней.
Инструкции по Самоделкам 12 подписчиков Подписаться Видеоуроки являются идеальными помощниками при изучении новых тем, закреплении материала, для обычных и факультативных занятий, для групповой и индивидуальной работы. Они содержат оптимальное количество графической и анимационной информации для сосредоточения внимания и удержания интереса ребят без отвлечения от сути занятия. Каждый видеоурок озвучен профессиональным мужским голосом, четким и приятным для восприятия.
В Западной Европе на территориях бывших римских провинций их найдено уже около 130, целиком и по частям, однако до сих пор неизвестно, что это за предметы и для чего их использовали. Письменные источники не сохранили о римских додекаэдрах ни одного упоминания. Что такое додекаэдр Римские додекаэдры — это пустотелые многогранники из 12 правильных пятиугольников, в каждом из которых сделаны круглые отверстия разного диаметра, а на углах соединения граней — маленькие шарики. Чаще всего предметы выполнены из бронзы, реже из железа и камня. Размеры додекаэдров варьируются от 4 до 11 сантиметров в диаметре. Все находки датированы I—III веками нашей эры. Шедевр из медного сплава Новый артефакт размером с грейпфрут и свободно помещается в руку. Его обнаружили рядом с деревенькой Нортон Дисней во время двухнедельных раскопок на фермерском поле. Сначала поисковики выяснили, что там под землей есть пустоты — нечто, похожее на закопанную яму или карьер.
Загадочный додекаэдр возрастом 1600 лет найден в Бельгии
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Для общеобразоват. Открытые электронные ресурсы: Многогранники. Отметим, что поскольку все грани - равные правильные многоугольники, то все ребра правильного многогранника равны. Вам уже известны примеры некоторых правильных многогранников. Например, куб. Все его грани - равные квадраты и к каждой вершине сходится три ребра. Также нам уже знаком правильный тетраэдр. Заметьте, что правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида — это различные многогранники! Напомним, что пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром многоугольника. Таким образом, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но могут быть не равны ребрам основания пирамиды, а в правильном тетраэдре все ребра равны.
Правильных многогранников существует всего 5. Перечислим их. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников, значит сумма плоских углов при каждой вершине равна 180. Рисунок 1 - Правильный тетраэдр Правильный октаэдр — многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников, значит, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240. Рисунок 2 - Правильный октаэдр Куб гексаэдр — многогранник, составленный из шести квадратов.
Каркас правильного додекаэдра - множество его вершин, соединенных его ребрами - образует граф, называемый додекаэдрическим графом. Платон поставил додекаэдр в соответствие с Целым, потому что это твердое тело больше всего напоминает сферу. Демонстрация существования центра симметрии Пусть O - центр додекаэдра точка, равноудаленная от его вершин , а A - вершина. Прямая OA пересекает додекаэдр во второй точке K, которая является либо центром грани, либо серединой ребра, либо вершиной. Следовательно, K может быть только вершиной, а симметричной вершине A относительно O является вершина K. Додекаэдр допускает пять троек ортогональных плоскостей, проходящих через центр, каждая из которых является плоскостью симметрии додекаэдра. Симметрия относительно плоскости, перпендикулярной OM, проходящей через O, является произведением поворота на пол-оборота оси OM на симметрию центра O.
Потому, что додекаэдр расположен у внешнего края вашего энергетического поля и является высшей формой сознания. Когда вы достигаете 55-футового предела своего энергетического поля, то оно будет иметь форму сферы. Но самая близкая к сфере внутренняя фигура — это додекаэдр в действительности, додекаэдро-икосаэдральная взаимосвязь. Вдобавок к этому, мы живём внутри большого додекаэдра, который содержит в себе вселенную. Когда ваш ум достигает предела пространства космоса — а предел тут есть — то он натыкается на додекаэдр, замкнутый в сфере. Додекаэдр есть завершающая фигура геометрии и она очень важна. На микроскопическом уровне, додекаэдр и икосаэдр являются относительными параметрами ДНК, по которым построена вся жизнь. Можно увидеть также, что молекула ДНК представляет собой вращающийся куб. При повороте куба последовательно на 72 градуса по определённой модели, получается икосаэдр, который, в свою очередь, составляет пару додекаэдру. Таким образом, двойная нить спирали ДНК построена по принципу двухстороннего соответствия: за икосаэдром следует додекаэдр, затем опять икосаэдр, и так далее. Это вращение через куб создаёт молекулу ДНК. В основе структуры ДНК лежит священная геометрия, хотя, могут обнаружиться ещё и другие скрытые взаимосвязи. Живые источники математического творчества неотделимы от интереса познания природы и задач управления природными явлениями.
Однако пятиугольники не правильные, и фигура не имеет осей симметрии пятого порядка. Хотя правильные додекаэдры не существуют в кристаллах, тетартоидная форма существует. Название тетартоид происходит от греческого корня, означающего одну четверть, потому что он имеет одну четверть полной октаэдрической симметрии и половину пиритоэдрической симметрии. Абстракции, разделяющие топологию и симметрию твердого тела, могут быть созданы из куба и тетраэдра. В кубе каждая грань разделена пополам наклонным краем. В тетраэдре каждое ребро делится на три части, и каждая из новых вершин соединяется с центром грани. В обозначениях многогранников Конвея это гиротетраэдр. Ортографические проекции с 2-х и 3-х кратных осей Кубическая и тетраэдрическая форма Кобальтит Связь с додекаэдром дьякис Тетартоид можно создать, увеличив 12 из 24 граней додекаэдра дьякиса. Показанный здесь тетартоид основан на тетартоиде, который сам образован увеличением 24 из 48 граней додекаэдра дисдиакиса.
Загадочный 12-гранник: кто и зачем использовал додекаэдры во времена Древнего Рима?
Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением додекаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что вершины додекаэдра лежат в параллельных плоскостях [7] [6] :318-319 [8]. На территории нескольких европейских стран найдено множество предметов, называемых римскими додекаэдрами , относящихся ко II—III вв. Вскоре после появления кубика Рубика , в 1981 году была запатентована подобная головоломка в форме правильного додекаэдра — мегаминкс. Как и у классического кубика Рубика, к каждому ребру у неё прилегает по три детали [9].
Переходим к следующему инструменту. Великая формула Эйлера Одно из самых известных открытий великого математика - это формула, которая связывает количество вершин, ребер и граней всякого многогранника, топологически эквивалентного сфере: Обратите внимание, что речь идёт не только о правильных многогранниках, а вообще о всех телах, которые можно получить непрерывными преобразованиями из сферы то есть гомеоморфными ей.
Эйлерова характеристика, т. Тор можно получить "приклеив" к сфере одну ручку, значит его Эйлерова характеристика равна 0, если приклеить две ручки - получим двойной тор с характеристикой "-2": Подводя краткие итоги: мы будем классифицировать правильные двумерные многогранники двумерные - в смысле, что их поверхность двумерна, но вложены они всё-таки в трехмерное пространство. Их эйлерова характеристика равна 2. Для примера рассмотрим тетраэдр и попытаемся выяснить зависимость. У тетраэдра 4 грани, в каждой из которых три угла.
Если умножить 4 вершины на 3 грани получим 12 чего-то там, что в два раза больше количества ребер их так же считали дважды В качестве упражнения можно посчитать для куба. Получили три уравнения с тремя неизвестными, которые будем сейчас решать, чтобы получить в чистом виде зависимость от составляющих символа Шлефли: Такую систему уравнений удобно решить, воспользовавшись параметризацией через некое t. Остается в целых числах решить соответствующее неравенство: Не только лишь все натуральные числа при умножении дают результат, меньший 4, поэтому у нас не так много работы: А теперь вспомните рисунок с символами Шлефли для платоновых тел!
Целый додекаэдр есть в Галло-Римском музее — его обнаружили в 1939 году у древних римских стен в Тонгерене. Обилие находок на территории, на которой когда-то простиралась Римская империя, свидетельствует: её граждане весьма активно пользовались 12-гранниками. Но как? С какой целью? Пока это неразрешимая загадка.
Обломок артефакта, найденный в Бельгии. Последнее - весьма туманное - предположение высказал куратор бельгийского музея Гвидо Криммерс Guido Creemers , получив обломок: мол, додекаэдры использовали в каких-то магических обрядах. Как-то с их помощью предсказывали будущее, что было весьма популярно у древних римлян, но попало под запрет с приходом христианства. По мнению куратора, неспроста чаще всего попадаются кусочки артефактов — завершив обряд и сделав предсказание, додекаэдр разбивали. Натянуто, честно признаться. Следуя подобной логике, придется допустить, что и керамические черепки образовались не случайно — мол, посуду били сознательно в ходе домашних скандалов.
Возможно и такое применение, но, как то слишком «сложно» выглядит. Однако многие эксперты отклонили это понятие по двум причинам.
Во-первых, остатки воска, вероятно, являются остатками процесса литья по выплавляемым моделям. Во-вторых, если эти предметы были подсвечниками, почему археологи не нашли ни одного экземпляра как предмет интерьера. В Италии или регионах Римской империи вокруг Средиземного моря? Особый географический район открытий додекаэдров делает загадочные предметы уникальными в огромном мире римской археологии. Приспособление для вязания? Среди теорий, предложенных археолагами-любителями, наиболее гениальная предполагает использование додекаэдра для вязания крючком. Талантливый студент сделал трехмерную копию римского додекаэдра и попытался связать. Впоследствии студент записал процесс на видео в YouTube.
Идея создания зимней перчатки на римском додекаэдре прекрасно сочетается с зимними географическими местами находок. Вдобавок, возможно, разные размеры отверстий на гранях соответствуют разным пальцам перчатки. Но, верно ли направление мысли о использовании этого додекаэдра? Возможно, римский додекаэдр служил не чем иным, как украшением. Можно было представить, что странный предмет, подвешенный на веревке на поясе, мог добавить костюму немного чванства. Однако идея, что римские додекаэдры были просто декоративными, не принимает во внимание разница размеров круглых отверстий. Сможет ли кто-нибудь, когда-нибудь, решить загадку функции римского додекаэдра? Судя по множеству теорий за последние двести лет, решение загадки может оказаться самым непредсказуемым.
Посещений всего:907, Визитов сегодня:1.
Додекаэдр — большая загадка римской истории
Точка прямая, плоскость называется центром осью, плоскостью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Основная литература: Потоскуев Е. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений — М. Атанасян Л. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Для общеобразоват. Открытые электронные ресурсы: Многогранники. Отметим, что поскольку все грани - равные правильные многоугольники, то все ребра правильного многогранника равны.
Вам уже известны примеры некоторых правильных многогранников. Например, куб. Все его грани - равные квадраты и к каждой вершине сходится три ребра. Также нам уже знаком правильный тетраэдр. Заметьте, что правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида — это различные многогранники! Напомним, что пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром многоугольника. Таким образом, в правильной треугольной пирамиде боковые ребра равны друг другу, но могут быть не равны ребрам основания пирамиды, а в правильном тетраэдре все ребра равны.
Часть ученых считают, что додекаэдр - это измерительный прибор, который позволяет просчитать траекторию полета снаряда от баллисты или катапульты на поле боя. Правда, на вопрос, как именно проводились эти расчеты, ответа нет. Этот додекаэдр изъят у "черного копателя" из Франции, грабившего археологические сайты. Другая группа исследователей согласна с мнением, что додекаэдр - это прибор, только предназначение его совершенно мирное. Мол, благодаря форме и круглым отверстиям додекаэдр определял угол падения солнечных лучей, и в результате римляне выясняли конкретный день, когда нужно приступать к посевам сельскохозяйственных культур. Интересное предположение. Однако жирный минус есть и у него. Большинство найденных додекаэдров более-менее идентичны по форме, но имеют разные размеры, в том числе отверстий. А для того, чтобы определять конкретное астрономическое время в разных точках Римской империи хотя бы , нужна все-таки унификация измерительных приборов. Скажем, современные теодолиты и нивелиры функционально одинаковы. И еще.
Устроены они так, чтобы устойчиво стоять на плоскости в любом положении благодаря «шишечкам». Судя по количеству находок, некогда они были очень распространены. Так, один из этих предметов был найден в женском захоронении, четыре - в развалинах римской дачи. То, что многие из них обнаружены среди кладов, подтверждает их высокий статус: судя по всему, эти вещицы ценились наряду с драгоценностями. Большой загадкой является, для чего именно они были созданы. К сожалению, на этот счет отсутствуют какие-либо документы, начиная со времен их создания, так что предназначение этих артефактов до сих пор не установлено. Тем не менее за время, прошедшее с момента их обнаружения, было выдвинуто множество теорий и предположений. Исследователи наделяли их множеством функций: дескать, это подсвечники внутри одного экземпляра был обнаружен воск , игральные кости, геодезические приборы, приспособления для определения оптимального срока посева, инструменты для калибровки водяных труб, элементы армейского штандарта, украшения для жезла или скипетра, игрушки для подбрасывания и ловли на шест или же просто геометрические скульптуры. В целом археологи выдвинули примерно 27 гипотез, хотя доказать ни одну из них не удалось. Сейчас в исторической литературе для краткости используется аббревиатура UGRO от англ. Unidentified Gallo-Roman Object - «неопознанный галло-римский предмет». Астрономический определитель Согласно одной из самых признаваемых теорий, римские додекаэдры применялись в качестве измерительных приспособлений, а именно - в качестве дальномеров на поле боя. Дескать, додекаэдр использовали для расчета траекторий метательных снарядов, и это объясняет наличие разного диаметра отверстий на пятиугольных гранях. По другой теории, додекаэдры использовались в качестве геодезических и нивелирующих приспособлений.
Додекаэдр можно найти в разных местах. Например, он может быть использован в кубиках для игры или в некоторых молекулах в химии. Так что додекаэдр — это удивительная фигура, которая имеет много интересных свойств. Он состоит из 12 граней, 20 вершин и 30 ребер. Если тебе интересна геометрия, то ты можешь изучить еще больше о додекаэдре и других многогранниках. Белова, Т. Вычисление неопределенных интегралов. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Компьютерный курс: учеб. Белова, А. Грешилов, И. Дубограй; Ред. Берман, Г. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. Виноградова, И. Задачи и упражнения по математическому анализу: учеб. Виноградова, С.
Особенности фигуры, сколько граней и углов у додекаэдра
- Зачем в древности был нужен и как использовался «Римский додекаэдр».
- Правильный додекаэдр — Что такое Правильный додекаэдр
- Римские додекаэдры. Загадочные артефакты, которым нет объяснения | Пикабу
- Определения, значения слова в других словарях:
Проект по математике: "Звёздчатые формы додекаэдров"
"что такое додекаэдр?", можно дать следующее определение: "Додекаэдр это геометрическое тело из двенадцати граней, каждая их которых - правильный пятиугольник". Додекаэдр некогда считался пифагорейцами священной фигурой, олицетворявшей Вселенную или эфир (пятый элемент мироздания, помимо традиционных огня, воздуха, воды и земли). небольшой полый бронзовый или каменный предмет геометрической формы с двенадцатью плоскими гранями они украшены маленькими шарами в каждом углу пятиугольника. Новости Новости. Эфир — додекаэдр (двенадцатигранник) — тело, наиболее близкое к шару, символизирующее небесную сферу. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников.
додекаэдр - Сток картинки
| Геометрия. 10 класс | это многогранник с двенадцатью гранями, тридцатью ребрами и двадцатью вершинами. |
| Додекаэдр. Развертка для склеивания, распечатки а4, шаблон с размерами | Додекаэдра является tetartoid более необходимой симметрии. |
| ✅ Додекаэдр - Что это такое, определение и понятие | Правильный додекаэдр (от двенадцать и грань) один из пяти возможных правильных многогранников. |
| Додекаэдр - Dodecahedron - | Около сотни подобных додекаэдров было найдено на территории различных стран, от Англии до Венгрии и запада Италии, но большинство найдено в Германии и Франции. |
| Додекаэдр - это... | Проект Звёздчатые формы додекаэдров подготовила ученица 9 класса под моим руководством. |
Что такое додекаэдр? »Его определение и значение
геометр. многогранник, имеющий двенадцать граней; двенадцатигранник Вокруг орбиты Земли можно описать 12-гранник или додекаэдр, где каждая грань ― правильный пятиугольник. это многогранник, состоящий из 12 граней, каждая из которых является правильным пятиугольником. Додекаэдр. Додекаэдр (греч. δωδεκάεδρον, от δώδεκα – двенадцать и ἕδρα – грань), один из пяти типов правильных многогранников. двенадцать и hedra - грань), один из пяти типов правильных многогранников. Д. имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер, 20 вершин (в каждой вершине сходятся 3 ребра).
Додекаэдр | Стереометрия #44 | Инфоурок
У додекаэдра центр симметрии состоит из 15 осей симметрии. Правильный додекаэдр имеет грани в виде правильных пятиугольников (см. пентагон-додекаэдр). Узнайте в деталях про Додекаэдр может быть помещен в сферу (вписан), так, что каждая из его вершин будет касаться внутренней стенки сферы.
Правильные многогранники
Утверждение под номером 1 неверно, так как название «додекаэдр» с греческого означает «двенадцать граней». Римский додекаэдр датируется II—III веком н. э. Около сотни додекаэдров было найдено на территории различных стран, от Англии до Венгрии и запада Италии, но большинство найдено в Германии и Франции. это додекаэдр, который является правильным, который состоит из 12 правильных пятиугольных граней, трех встречаются в каждой вершине. Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.