§ 1. Аксиомы стереометрии и следствия из них. Формулы математика профиль ЕГЭ геометрия. Мой канал в Telegram: +nv_AT3GKIq0zNTBiХочешь готовиться к ЕГЭ со мной? Стереометрия формулы ЕГЭ тела вращения.
Справочный материал по стереометрии
Курс ПРОФИЛЬ 2022 от Абеля / Математика ЕГЭ. Шпаргалка по стереометрии ЕГЭ профиль. Тригонометрия на ЕГЭ: основные проблемы темы Задания по тригонометрии в базе и профиле на ЕГЭ 5 формул тригонометрии: теория для ЕГЭ Что еще пригодится вам для тригонометрии на ЕГЭ.
Формулы для ЕГЭ по профильной математике
Главная» Новости» Формулы для 3 задания егэ математика профиль 2024. : Все необходимые формулы и помощь в решении задач ЕГЭ 2024 по математике профильный уровень. Главная» Новости» Формулы для 3 задания егэ математика профиль 2024. Формулы и методы для задачи №13 (стереометрия). Формулы ЕГЭ профильная математика по заданиям в 2021: какие формулы необходимы для сдачи ЕГЭ по профильной математике? Полный список с пояснениями. Формулы по стереометрии. Геометрия (15) Планиметрия (10) Стереометрия (5).
Какие формулы необходимы для сдачи ЕГЭ по профильной математике?
- Эффективное решение существует!
- Объемы фигур (ЕГЭ 2022) | YouClever
- 5 задание Формулы стереометрии -2 - Курс ПРОФИЛЬ 2022 от Абеля / Математика ЕГЭ
- Объемы фигур — коротко о главном
- Навигация по записям
Тригонометрия на ЕГЭ: 5 формул для базы и профиля
Курс ПРОФИЛЬ 2022 от Абеля / Математика ЕГЭ. № 3 Стереометрия Самые актуальные шпаргалки по стереометрии на сайте. Формулы ЕГЭ профильная математика по заданиям в 2021: какие формулы необходимы для сдачи ЕГЭ по профильной математике? Полный список с пояснениями.
Тригонометрия на ЕГЭ: 5 формул для базы и профиля
Канал видеоролика: Профильная математика ЕГЭ Умскул. Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда. Канал видеоролика: Профильная математика ЕГЭ Умскул. Все формулы для ЕГЭ по математике профильного уровня 2024 года можно найти на официальном сайте Министерства образования РФ или скачать в виде pdf-файла по этой ссылке. Формулы вычисления объема и площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.
Теория по стереометрии для егэ профиль куб
С нами Вы подготовитесь к ЕГЭ наиболее продуктивно. Учите формулы по математике и сдавайте ЕГЭ на максимальные баллы!
Геометрические формулы для ЕГЭ. Формулы для 8 задания по геометрии ЕГЭ. Формулы площадей стереометрия ЕГЭ. Основные формулы в стереометрии.
Объемы и площади фигур стереометрия. Формулы стереометрии таблица. Формулы стереометрии для ЕГЭ. Формулы объемов фигур стереометрия. Стереометрия формулы площадей и объемов.
Формулы объемов стереометрических фигур. Формулы площадей стереометрических фигур. Объёмы фигур формулы таблица шпаргалка. Шпаргалка по геометрии для ОГЭ 9 класс шпаргалка. Шпаргалки на ЕГЭ по математике планиметрия.
Шпаргалки по стереометрии 11 класс для ЕГЭ. Шпаргалка по планиметрии на ЕГЭ. Площади всех фигур стереометрии. Формулы ЕГЭ математика стереометрия. Стереометрия 11 класс формулы ЕГЭ.
Формулы для ЕГЭ профильная математика геометрия. Формулы ЕГЭ математика профильный уровень геометрия. Основные формулы стереометрии для ЕГЭ. Геометрические формулы для ЕГЭ база математика. Формулы площадей фигур стереометрия.
Площади фигур стереометрия формулы таблица. Шпаргалка по стереометрии 10 класс. Стереометрия формулы 9 класс. Справочные материалы по стереометрии. Стереометрия таблица.
Стереометрия 10 класс формулы. Площади фигур стереометрия. Теория по стереометрии формулы. Стереометрия ЕГЭ. ЕГЭ по математике геометрия стереометрия.
Задачи стереометрия ЕГЭ. Лайфхаки по ЕГЭ стереометри. Шпаргалка по стереометрии ЕГЭ профиль. Ыормулыпо стереометрии. Формулы объёмных фигур стереометрия.
Стереометрия профильная математика. Стереометрия ЕГЭ профиль. Основные формулы по геометрии планиметрия. Формулы геометрии и стереометрии шпаргалка. Стереометрия 10 класс шпаргалка ЕГЭ.
Справочный материал по стереометрии. Теория по стереометрии.
Умение оперировать понятиями: точка, прямая, плоскость, величина угла, плоский угол, двугранный угол, угол между прямыми и др. Профиматика - Владислав Вуль 06. Профиматика - Владислав Вуль 30. Можно ли заботать всю стереометрию за 4 часа?
Профиматика - Игорь Уколов, Владислав Вуль 17. Задание 3.
Основные геометрические формулы планиметрия. Формулы площадей ЕГЭ планиметрия. Основные формулы по геометрии планиметрия. Шпаргалка ЕГЭ математика профильный уровень геометрия. Геометрические формулы для ЕГЭ. Шпаргалка по математике ЕГЭ планиметрия стереометрия. Шпаргалки по геометрии 11 класс ЕГЭ геометрия.
Формулы для ЕГЭ по математике планиметрия. Шпаргалка ЕГЭ математика планиметрия. Формулы площадей планиметрия. Формулы по планиметрии для ЕГЭ. Формулы площадей стереометрических фигур. Формулы для задач по стереометрии ЕГЭ. Формулы объёма геометрических фигур таблица. Все формулы объемов и площадей фигур для ЕГЭ. Формулы площадей фигур для ЕГЭ.
Площади поверхности фигур формулы ЕГЭ. Формулы объемов геометрических фигур таблица ЕГЭ. Формулы площадей для ЕГЭ профильная математика. Формулы площади и объёма геометрических фигур. Формулы площадей фигур стереометрия. Формулы площадей всех фигур для ЕГЭ. Стенд для кабинета математики планиметрия. Формулы планиметрии для ЕГЭ профиль 1 часть. Формулы планиметрия для ЕГЭ математика профильный.
Формулы для планиметрии ЕГЭ математика профиль. Формулы ЕГЭ математика стереометрия. Стереометрия формулы площадей и объемов. Формулы площадей фигур планиметрия. Формулы планиметрии для ЕГЭ. Площади фигур ЕГЭ математика профиль планиметрия. Формулы объёмов фигур 11 класс. Формулы тел вращения геометрия 11 класс. Формулы объемов тел вращения 11 класс.
Площади фигур формулы стереометрия 11 класс. Формулы ЕГЭ математика профильный уровень геометрия. Основные формулы для профильной математики ЕГЭ. Формулы шпоры по математике ЕГЭ 2022. Формулы ЕГЭ математика профильный уровень Алгебра. Справочные материалы ЕГЭ математика профиль 2021. Справочный материал ЕГЭ математика 2022. Базовая математика ЕГЭ 2022. Справочные материалы ЕГЭ математика 2022.
Геометрические формулы для ЕГЭ база. Геометрические формулы для ЕГЭ база математика. Теоремы планиметрии 10 класс. Основные формулы планиметрии для ЕГЭ. Шпаргалки по геометрии для подготовки к ОГЭ. Геометрические задания ЕГЭ профиль математика. Теоремы по геометрии для ОГЭ 2023. Геометрия на готовых чертежах 7-9 классы теорема Пифагора. Шпоры на ОГЭ по математике 2022.
Формулы для ОГЭ по математике 2022. Шпаргалки по алгебре 9 класс ОГЭ. Шпаргалки ОГЭ математика 9 класс. Формулы для ЕГЭ профильная математика геометрия. Шпоры для ЕГЭ по математике 2021 профильный уровень геометрия. Формулы геометрии и стереометрии шпаргалка. Формулы по стереометрии профильная математика. Объёмы фигур формулы ЕГЭ шпаргалка. Формулы для ЕГЭ по математике профиль планиметрия.
Основные теоремы планиметрии для ЕГЭ. Основные формулы планиметрии для ЕГЭ профиль. Планиметрия теория для ЕГЭ формулы. Шпаргалка по планиметрии на ЕГЭ. Планиметрия шпаргалки для ЕГЭ. Геометрия - теоремы планиметрии.
Вся геометрия для егэ профиль
| Формулы справочника для ЕГЭ | Секретные приемы подготовки к ЕГЭ Формулы стереометрии и их применение в задачах Не забыли, как запоминать формулы? |
| ВСЕ формулы по математике для ЕГЭ - Без Сменки | Формулы нахождения площади фигур Треугольник Трапеция Параллелограмм Прямоугольник Квадрат Ромб Многоугольник Окружность Теорема косинусов Теорема синусов. |
| Все формулы стереометрии для егэ | Формулы для стереометрии ЕГЭ математика профиль. |
| Справочник с основными фактами стереометрии | Все формулы по стереометрии для ЕГЭ. Формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур. |
Параллелепипед формулы
- ВСЕ формулы по математике для ЕГЭ
- ЕГЭ 2024. Математика. Профиль. Разбор задания 3. Стереометрия.
- Все формулы по стереометрии для егэ. Справочник с основными фактами стереометрии
- Какие формулы необходимы для сдачи ЕГЭ по профильной математике?
- 5 задание Формулы стереометрии -2 - Курс ПРОФИЛЬ 2022 от Абеля / Математика ЕГЭ — ЭкзаменТВ
Теорема косинусов
- Формулы к ЕГЭ по математике
- ЕГЭ-2022 по математике, профильный и базовый уровни
- Вам также будет интересно
- Вся геометрия для егэ профиль
Все формулы стереометрии для егэ
Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника. Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке все двугранные углы прямые. Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого: Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника — Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность. Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника. В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.
Группы разного уровня подготовки Группы для обучения подбираются согласно текущему уровню подготовки к ЕГЭ Вашего ребенка Это позволяет сделать обучение максимально эффективным для каждого Полный контроль за процессом обучения Вам предоставляется доступ в облачный личный кабинет с полной информацией о посещаемости и успеваемости ученика,а также домашними заданиями и тестами Уникальный преподавательский коллектив К работе с Вашими детьми допускаются только опытные и харизматичные профессиональные репетиторы и преподаватели ВУЗов, способные зажечь искру любви к предмету Авторские методики обучения и мотивации Система тестов, уникальная аттестация, целеполагание и тьюторская поддержка учеников позволяют увеличить эффективность обучения и мотивировать Вашего ребенка на успех Остались вопросы?
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке все двугранные углы прямые. Чтобы найти площадь основания, разделим его на два прямоугольника и найдем площадь каждого: Далее подставим все данные в формулу и найдем площадь поверхности многогранника — Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность. Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника. В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны. Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Окружность — это линия, а круг — это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера — это оболочка, а шар — это ещё и все точки внутри этой оболочки. Плоскость, проходящая через центр сферы шара , называется диаметральной плоскостью. Сечение сферы шара диаметральной плоскостью называется большой окружностью большим кругом. Теоремы: Теорема 1 о сечении сферы плоскостью. Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы. Теорема 2 о сечении шара плоскостью. Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении. Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра на рис. A и B , можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов. Определения: Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы шара и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере шару. По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку — точку касания. Теоремы: Теорема 1 признак касательной плоскости к сфере. Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы. Теорема 2 о свойстве касательной плоскости к сфере. Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Многогранники и сфера Определение: В стереометрии многогранник например, пирамида или призма называется вписанным в сферу , если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника пирамиды, призмы. Аналогично: многогранник называется вписанным в шар , если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника. Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников: Определение: Многогранник называется описанным около сферы шара , если сфера шар касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник. Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников: Объем и площадь поверхности шара Теоремы: Теорема 1 о площади сферы. Площадь сферы равна: где: R — радиус сферы. Теорема 2 об объеме шара. Объем шара радиусом R вычисляется по формуле: Шаровой сегмент, слой, сектор В стереометрии шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая секущей плоскостью. Площадь основания шарового сегмента: Площадь внешней поверхности шарового сегмента: Площадь полной поверхности шарового сегмента: Объем шарового сегмента: В стереометрии шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Объем шарового слоя проще всего искать как разность объемов двух шаровых сегментов. В стереометрии шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше чем пол шара. Объем шарового сектора вычисляется по формуле: Определения: В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности. Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности. Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части круги , отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Основания цилиндра — это два равных круга. Образующей цилиндра называется отрезок или длина этого отрезка образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны между собой, а также перпендикулярны основаниям. Осью цилиндра называется отрезок, соединяющий центры кругов, являющихся основаниями цилиндра. Высотой цилиндра называется перпендикуляр или длина этого перпендикуляра , проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания цилиндра к плоскости другого основания. В цилиндре высота равна образующей. Радиусом цилиндра называется радиус его оснований. Цилиндр называется равносторонним , если его высота равна диаметру основания. Если секущая плоскость параллельна оси цилиндра, то сечением цилиндра служит прямоугольник, две стороны которого — образующие, а две другие — хорды оснований цилиндра. Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, две стороны которого есть образующие цилиндра, а две другие — диаметры его оснований. Если секущая плоскость, перпендикулярна оси цилиндра, то в сечении образуется круг равный основаниям. На чертеже ниже: слева — осевое сечение; в центре — сечение параллельное оси цилиндра; справа — сечение параллельное основанию цилиндра. Цилиндр и призма Призма называется вписанной в цилиндр , если ее основания вписаны в основания цилиндра. В этом случае цилиндр называется описанным около призмы. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае будут равны. Все боковые ребра призмы будут принадлежать боковой поверхности цилиндра и совпадать с его образующими. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать в такой цилиндр можно также только прямую призму. Примеры: Призма называется описанной около цилиндра , если ее основания описаны около оснований цилиндра. В этом случае цилиндр называется вписанным в призму. Высота призмы и высота цилиндра в этом случае также будут равны. Все боковые ребра призмы будут параллельны образующим цилиндра. Так как под цилиндром мы понимаем только прямой цилиндр, то вписать такой цилиндр можно только в прямую призму. Примеры: Цилиндр и сфера Сфера шар называется вписанной в цилиндр , если она касается оснований цилиндра и каждой его образующей. При этом цилиндр называется описанным около сферы шара. Сферу можно вписать в цилиндр, только если это равносторонний цилиндр, то есть диаметр его основания и высота равны между собой. Центром вписанной сферы будет служить середина оси цилиндра, а радиус этой сферы будет совпадать с радиусом цилиндра. Пример: Цилиндр называется вписанным в сферу , если окружности оснований цилиндра являются сечениями сферы. Цилиндр называется вписанным в шар, если основания цилиндра являются сечениями шара. При этом шар сфера называется описанным около цилиндра. Вокруг любого цилиндра можно описать сферу. Центром описанной сферы также будет служить середина оси цилиндра. Пример: На основе теоремы Пифагора легко доказать следующую формулу, связывающую радиус описанной сферы R , высоту цилиндра h и радиус цилиндра r : Объем и площадь боковой и полной поверхностей цилиндра Теорема 1 о площади боковой поверхности цилиндра : Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности его основания на высоту: где: R — радиус основания цилиндра, h — его высота. Эта формула легко выводится или доказывается на основе формулы для площади боковой поверхности прямой призмы. Площадью полной поверхности цилиндра , как обычно в стереометрии, называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Площадь каждого основания цилиндра то есть просто площадь круга вычисляется по формуле: Следовательно, площадь полной поверхности цилиндра S полн. Эта формула также легко выводится доказывается на основе формулы для объема призмы. Теорема 3 Архимеда : Объём шара в полтора раза меньше объёма, описанного вокруг него цилиндра, а площадь поверхности такого шара в полтора раза меньше площади полной поверхности того же цилиндра: Конус Определения: Конусом точнее, круговым конусом называется тело, которое состоит из круга называемого основанием конуса , точки, не лежащей в плоскости этого круга называемой вершиной конуса и всех возможных отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Неформально, можно воспринимать конус как правильную пирамиду, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности конуса. Отрезки или их длины , соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса. Все образующие прямого кругового конуса равны между собой. Поверхность конуса состоит из основания конуса круга и боковой поверхности составленной из всех возможных образующих. Объединение образующих конуса называется образующей или боковой поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью. Конус называется прямым , если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе, как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы, а основание — вращением катета, не являющимся осью. Радиусом конуса называется радиус его основания. Высотой конуса называется перпендикуляр или его длина , опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту, то есть прямая проходящая через центр основания и вершину. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость проходит через внутреннюю точку высоты конуса и перпендикулярна ей, то сечением конуса является круг, центр которого есть точка пересечения высоты и этой плоскости. Высота h , радиус R и длина образующей l прямого кругового конуса удовлетворяют очевидному соотношению: Объем и площадь боковой и полной поверхностей конуса Теорема 1 о площади боковой поверхности конуса. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую: где: R — радиус основания конуса, l — длина образующей конуса. Эта формула легко выводится или доказывается на основе формулы для площади боковой поверхности правильной пирамиды. Площадью полной поверхности конуса называется сумма площади боковой поверхности и площади основания.
Формулы к ЕГЭ по математике!
Стереометрия 11 класс формулы ЕГЭ. Формулы для стереометрии ЕГЭ математика профиль. 1. «Все формулы геометрии» 2. «Многоугольники» 3. «Топ-5 заданий №21 с реального ЕГЭ» 4. «Логарифмы и их свойства». Формулы математика профиль ЕГЭ геометрия. Стереометрия формулы ЕГЭ тела вращения. При решении геометрических задач гиа и егэ по математике, например, № 4, 7, необходимо знать следующие формулы для нахождения площадей фигур.
ВСЕ формулы по математике для ЕГЭ
Скачать ее можно здесь. Кроме того в задачах могут встретиться прогрессии, о них подробнее мы рассказывали в статье. Геометрия В этом разделе находятся все задачи, которые связаны с геометрическими фигурами. И для их решения тоже есть разные формулы. Как вычислить площадь различных фигур, какие теоремы и свойства помогут в решении задач, — всю необходимую для сдачи ЕГЭ информацию ты можешь найти в нашей «Шпаргалке по планиметрии». Тригонометрия Синусы и косинусы — одна из самых нелюбимых школьниками тем, но создатели экзамена должны проверить знания. Поэтому и формулы тригонометрии стоит изучить.
Таймкоды: 0:00 - 3 задание ЕГЭ. Теория о правильном шестиугольнике.
Тетраэдр называется правильным , если все его грани — равносторонние треугольники. У правильного тетраэдра: Все ребра правильного тетраэдра равны между собой. Все грани правильного тетраэдра равны между собой. Периметры, площади, высоты и все остальные элементы всех граней соответственно равны между собой. Из общих формул для объема и площадей пирамиды, а также знаний из планиметрии не сложно получить формулы для объема и площадей правильного тетраэдра а — длина ребра : Определение: При решении задач по стереометрии, пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В таком случае, это ребро и является высотой пирамиды. Ниже примеры треугольной и пятиугольной прямоугольных пирамид. На рисунке слева SA — ребро, являющееся одновременно высотой. Усечённая пирамида Определения и свойства: Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Фигура, полученная на пересечении секущей плоскости и исходной пирамиды, также называется основанием усеченной пирамиды. Боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями. На чертеже это, например, AA 1 B 1 B. Боковыми ребрами усеченной пирамиды называются части ребер исходной пирамиды, заключенные между основаниями. На чертеже это, например, AA 1. Высотой усеченной пирамиды называется перпендикуляр или длина этого перпендикуляра , проведенный из какой-нибудь точки плоскости одного основания к плоскости другого основания. Усеченная пирамида называется правильной , если она является многогранником, который отсекается плоскостью, параллельной основанию правильной пирамиды. Основания правильной усеченной пирамиды — правильные многоугольники. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равнобедренные трапеции. Апофемой правильной усеченной пирамиды называется высота ее боковой грани. Площадью боковой поверхности усеченной пирамиды называется сумма площадей всех ее боковых граней. Формулы для усеченной пирамиды Объём усечённой пирамиды равен: где: S 1 и S 2 — площади оснований, h — высота усечённой пирамиды. Однако на практике, удобнее искать объем усеченной пирамиды так: можно достроить усечённую пирамиду до пирамиды, продлив до пересечения боковые рёбра. Тогда объём усечённой пирамиды можно найти, как разность объёмов всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности также можно искать как разность между площадями боковой поверхности всей пирамиды и достроенной части. Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полупроизведению суммы периметров её оснований и апофемы: где: P 1 и P 2 — периметры оснований правильной усеченной пирамиды, а — длина апофемы. Площадь полной поверхности любой усеченной пирамиды, очевидно, находится как сумма площадей оснований и боковой поверхности: Пирамида и шар сфера Теорема: Около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит вписанный многоугольник то есть многоугольник около которого можно описать сферу. Данное условие является необходимым и достаточным. Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Замечание: Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу. Однако, список пирамид около которых можно описать сферу не исчерпывается этими типами пирамид. Тогда точка О — центр описанного шара. Теорема: В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке необходимое и достаточное условие. Эта точка будет центром сферы. Замечание: Вы, очевидно, не поняли того, что прочитали строчкой выше. Однако, главное запомнить, что любая правильная пирамида является такой, в которую можно вписать сферу. При этом список пирамид, в которые можно вписать сферу не исчерпывается правильными. Определение: Биссекторная плоскость делит двугранный угол пополам, а каждая точка биссекторной плоскости равноудалена от граней, образующих двугранный угол. На стереометрическом чертеже ниже изображен шар вписанный в пирамиду или пирамида описанная около шара , при этом точка О — центр вписанного шара. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой необходимое и достаточное условие. Конус называется описанным около пирамиды , когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой необходимое и достаточное условие. Важное свойство: Пирамида и цилиндр Цилиндр называется вписанным в пирамиду , если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды. Цилиндр называется описанным около пирамиды , если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания пирамиды. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник необходимое и достаточное условие. Сфера и шар Определения: Сфера — замкнутая поверхность, геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от данной точки, называемой центром сферы. Сфера также является телом вращения, образованным при вращении полуокружности вокруг своего диаметра. Радиусом сферы называется отрезок, соединяющий центр сферы с какой-либо точкой сферы. Хордой сферы называется отрезок, соединяющий две точки сферы. Диаметром сферы называется хорда, проходящая через ее центр. Центр сферы делит любой его диаметр на два равных отрезка. Любой диаметр сферы радиусом R равен 2R. Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, которые находятся на расстоянии не большем заданного от некоторого центра. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Обратите внимание: поверхность или граница шара называется сферой. Можно дать и такое определение шара: шаром называется геометрическое тело, состоящее из сферы и части пространства, ограниченного этой сферой. Радиусом , хордой и диаметром шара называются радиус, хорда и диаметр сферы, которая является границей данного шара. Разница между шаром и сферой аналогична разнице между кругом и окружностью. Окружность — это линия, а круг — это ещё и все точки внутри этой линии. Сфера — это оболочка, а шар — это ещё и все точки внутри этой оболочки. Плоскость, проходящая через центр сферы шара , называется диаметральной плоскостью. Сечение сферы шара диаметральной плоскостью называется большой окружностью большим кругом. Теоремы: Теорема 1 о сечении сферы плоскостью. Сечение сферы плоскостью есть окружность. Заметим, что утверждение теоремы остается верным и в случае, если плоскость проходит через центр сферы. Теорема 2 о сечении шара плоскостью. Сечение шара плоскостью есть круг, а основание перпендикуляра, проведенного из центра шара к плоскости сечения, есть центр круга, полученного в сечении. Наибольший круг, из числа тех, которые можно получить в сечении данного шара плоскостью, лежит в сечении, проходящем через центр шара О. Он то и называется большим кругом. Его радиус равен радиусу шара. Любые два больших круга пересекаются по диаметру шара AB. Этот диаметр является и диаметром пересекающихся больших кругов. Через две точки сферической поверхности, расположенные на концах одного диаметра на рис. A и B , можно провести бесчисленное множество больших кругов. Например, через полюса Земли можно провести бесконечное число меридианов. Определения: Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы. Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара. Любая прямая, лежащая в касательной плоскости сферы шара и проходящая через точку касания, называется касательной прямой к сфере шару. По определению касательная плоскость имеет со сферой только одну общую точку, следовательно, касательная прямая также имеет со сферой только одну общую точку — точку касания. Теоремы: Теорема 1 признак касательной плоскости к сфере. Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере, касается сферы. Теорема 2 о свойстве касательной плоскости к сфере. Касательная плоскость к сфере перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Многогранники и сфера Определение: В стереометрии многогранник например, пирамида или призма называется вписанным в сферу , если все его вершины лежат на сфере. При этом сфера называется описанной около многогранника пирамиды, призмы. Аналогично: многогранник называется вписанным в шар , если все его вершины лежат на границе этого шара. При этом шар называется описанным около многогранника. Важное свойство: Центр сферы, описанной около многогранника, находится на расстоянии, равном радиусу R сферы, от каждой вершины многогранника. Приведем примеры вписанных в сферу многогранников: Определение: Многогранник называется описанным около сферы шара , если сфера шар касается всех граней многогранника. При этом сфера и шар называются вписанными в многогранник. Важно: Центр сферы, вписанной в многогранник, находится на расстоянии, равном радиусу r сферы, от каждой из плоскостей, содержащих грани многогранника. Приведем примеры описанных около сферы многогранников: Объем и площадь поверхности шара Теоремы: Теорема 1 о площади сферы. Площадь сферы равна: где: R — радиус сферы. Теорема 2 об объеме шара. Объем шара радиусом R вычисляется по формуле: Шаровой сегмент, слой, сектор В стереометрии шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая секущей плоскостью. Площадь основания шарового сегмента: Площадь внешней поверхности шарового сегмента: Площадь полной поверхности шарового сегмента: Объем шарового сегмента: В стереометрии шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными плоскостями. Объем шарового слоя проще всего искать как разность объемов двух шаровых сегментов. В стереометрии шаровым сектором называется часть шара, состоящая из шарового сегмента и конуса с вершиной в центре шара и основанием, совпадающим с основанием шарового сегмента. Здесь подразумевается, что шаровой сегмент меньше чем пол шара. Объем шарового сектора вычисляется по формуле: Определения: В некоторой плоскости рассмотрим окружность с центром O и радиусом R. Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную плоскости окружности. Цилиндрической поверхностью называется фигура, образованная этими прямыми, а сами прямые называются образующими цилиндрической поверхности. Все образующие цилиндрической поверхности параллельны друг другу, так как они перпендикулярны плоскости окружности. Прямым круговым цилиндром или просто цилиндром называется геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, которые перпендикулярны образующим цилиндрической поверхности. Неформально, можно воспринимать цилиндр как прямую призму, у которой в основании круг. Это поможет легко понять, а при необходимости и вывести формулы для объема и площади боковой поверхности цилиндра. Боковой поверхностью цилиндра называется часть цилиндрической поверхности, расположенная между секущими плоскостями, которые перпендикулярны ее образующим, а части круги , отсекаемые цилиндрической поверхностью на параллельных плоскостях, называются основаниями цилиндра. Основания цилиндра — это два равных круга. Образующей цилиндра называется отрезок или длина этого отрезка образующей цилиндрической поверхности, расположенный между параллельными плоскостями, в которых лежат основания цилиндра.
Профиматематик 5 подписчиков Подписаться 3 задание ЕГЭ по профильной математике - это задачи по стереометрии, или простыми словами - задачи по геометрии с объёмными фигурами. В них нет ничего сложного, если разобраться с базовыми формулами по нахождению объёма и площади поверхности. Я репетитор и занимаюсь частными индивидуальными занятиями с учениками, чтобы заниматься со мной пиши?